Question

（2008•襄陽模擬）將兩塊三角板按圖甲方式拼好，其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，現將三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上，如圖乙．
（1）求證：AD⊥平面BDC；
（2）求二面角D-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）根據線面垂直的判定定理證明AD⊥平面BDC．
（2）利用空間二面角的定義先求出∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，然后根據三角形的邊角關系求出二面角的大小．

解答：解：（1）證：由已知DO⊥平面ABC，
∴平面ADB⊥平面ABC，
又∵∠B=∠D=90°，
∴BC⊥AB，
∵平面ADB⊥平面ABC，平面ADB∩平面ABC=AB，
∴BC⊥平面ADB，
又∵AD?平面ADB，∴BC⊥AD，
又∵AD⊥DC，
∴AD⊥平面BDC．
（2）由（1）得AD⊥BD，
由已知AC=2，得AB=

2

，AD=1，
∴BD=1，
∴O是AB的中點，DO=

2

2

，
過D作DE⊥AC于E，連結OE，則OE⊥AC．
∴∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，
且DE=

3

2

，
∴sin∠DEO=

DO

DE

=

6

3

，
∴∠DEO=arcsin

6

3

．
即二面角D-AC-B的大小為arcsin

6

3

．

點評：本題主要考查空間直線和平面垂直的判定，以及空間二面角的求法，要求熟練掌握相應的判定定理和二面角的求法．