【答案】
分析：由題意再根據韋達定理列出a
n，a
n+1和b
n三者的關系式，再進行變形求出數列{a
n}和{b
n}的特點，對數列分組求和，再由0＜|c|＜1求極限不等式，最后求出c的值．
解答：解：∵對任意n∈N*，a
n與a
n+1恰為方程x
2-b
nx+c
n=0的兩根，
∴a
n+a
n+1=b
n，a
n•a
n+1=c
n∴
=
=
=c．
∵a
1=1，∴a
1•a
2=a
2=c．
∴a
1，a
3，a
5，…，a
2n-1，構成首項為1，公比為c的等比數列，
a
2，a
4，a
6，…，a
2n，構成首項為c，公比為c的等比數列．
又∵任意n∈N*，a
n+a
n+1=b
n恒成立．
∴
=
=c．又b
1=a
1+a
2=1+c，b
2=a
2+a
3=2c，
∴b
1，b
3，b
5，…，b
2n-1，構成首項為1+c，公比為c的等比數列，
b
2，b
4，b
6，…，b
2n，構成首項為2c，公比為c的等比數列，
∵0＜|c|＜1，
c
n=0
∴
（b
1+b
2+b
3+…+b
n）=
（b
1+b
3+b
5+…）+
（b
2+b
4+…）
=
+
≤3．
解得c≤
或c＞1．
∵0＜|c|＜1，∴0＜c≤
或-1＜c＜0．
故c的取值范圍是（-1，0）∪（0，
]．
點評：本題綜合性強，涉及的知識面廣．本題的關鍵在于根據韋達定理求出數列{a
n}和{b
n}的特點，進行數列分組求和，將題設中的極限不等式轉化為關于c的不等式，顯然“橋梁”應是一元二次方程根與系數的關系．
（b1+b2+…+bn）≤3，求c的取值范圍．
