Question

已知函數f（x）=

1

x2-4

（x＜-2）．
（1）求函數f（x）的反函數f^-1（x）；
（2）若數列{a_n}的首項a₁=1，

1

an+1

=-f^-1（a_n）（n∈N^*），求數列{a_n}的通項公式；
（3）設b_n=

anan+1

an+an+1

，若b₁+b₂+…+b_n=2，求n的值．

Answer 1

分析：（1）利用解方程的方法，可求反函數；
（2）確定{

1

an2

}是以1為首項，4為公差的等差數列，即可求得數列的通項；
（3）把（2）中求得a_n代入b_n中，進而用疊加法求得數列的前n項的和．

解答：解：（1）令y=

1

x2-4

（x＜-2），則x=-

4y2+1

y

∴f^-1（x）=-

y2+4

y

；
（2）

1

an+1

=-f^-1（a_n）=

4an2+1

an

，∴

1

an+12

=

1

an2

+4
∵a₁=1，∴

1

a12

=1
∴{

1

an2

}是以1為首項，4為公差的等差數列
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3
∵a_n＞0，∴an=

1

4n-3

；
（3）b_n=

anan+1

an+an+1

=

4n+1 - 4n-3

4

∴b₁+b₂+…+b_n=

5 -1

4

+

9 - 5

4

+…+

4n+1 - 4n-3

4

=

4n+1 -1

4

令

4n+1 -1

4

=2，可得n=20．

點評：本題主要考查了數列等差關系的確定和通項公式．解題的基礎是對數列公式的熟練掌握．