Question

任給實數a，b定義a⊕b=　設函數f（x）=lnx⊕x，則f（2）+f（）=________；若{a_n}是公比大于0的等比數列，且a₅=1，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=a₁，則a₁=________．

Answer 1

解：∵a⊕b=，∴f（x）=lnx⊕x=，
∴f（2）+f（）=2ln2+=2ln2+2ln=2ln2-2ln2=0；
∵{a_n}是公比大于0的等比數列，且a₅=1，
故可設該數列的前8項分別為，，，，1，q，q²，q³，
故當q＞1時，數列的前4項，，，均為（0，1）之間的數，
數列的6、7、8項q，q²，q³均大于1，
f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）
=++++0+qlnq+q²lnq²+q³lnq³=-q⁴lnq⁴＜0，
這與f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=a₁=＞0矛盾；
同理可得當0＜q＜1時，數列的前4項，，，均為大于1，
數列的6、7、8項q，q²，q³均為（0，1）之間的數，
f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=q⁴lnq⁴=a₁=，
解得，故a₁=e
故答案為：0； e
分析：由新定義可得f（x）=lnx⊕x=，代入數值求解可得；可設該數列的前8項分別為，，，，1，q，q²，q³，當q＞1時，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=-q⁴lnq⁴＜0，不合題意，當0＜q＜1時，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=q⁴lnq⁴=，解之即可．
點評：本題考查新定義，涉及函數的求值以及數列的求和，屬中檔題．