Question

任給實數a，b定義a⊕b=

a×b，a×b≥0 a b ，     a×b＜0

  設函數f（x）=lnx⊕x，則f（2）+f（

1

2

）=

0

；若{a_n}是公比大于0的等比數列，且a₅=1，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=a₁，則a₁=

e

．

Answer 1

分析：由新定義可得f（x）=lnx⊕x=

xlnx    x≥1 lnx x       0＜ x＜1

，代入數值求解可得；可設該數列的前8項分別為

1

q4

，

1

q3

，

1

q2

，

1

q

，1，q，q²，q³，當q＞1時，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=-q⁴lnq⁴＜0，不合題意，當0＜q＜1時，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=q⁴lnq⁴=

1

q4

，解之即可．

解答：解：∵a⊕b=

a×b，a×b≥0 a b ，     a×b＜0

，∴f（x）=lnx⊕x=

xlnx    x≥1 lnx x       0＜ x＜1

，
∴f（2）+f（

1

2

）=2ln2+

ln 1 2

1 2

=2ln2+2ln

1

2

=2ln2-2ln2=0；
∵{a_n}是公比大于0的等比數列，且a₅=1，
故可設該數列的前8項分別為

1

q4

，

1

q3

，

1

q2

，

1

q

，1，q，q²，q³，
故當q＞1時，數列的前4項

1

q4

，

1

q3

，

1

q2

，

1

q

均為（0，1）之間的數，
數列的6、7、8項q，q²，q³均大于1，
f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）
=q4ln

1

q4

+q3ln

1

q3

+q2ln

1

q2

+qln

1

q

+0+qlnq+q²lnq²+q³lnq³=-q⁴lnq⁴＜0，
這與f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=a₁=

1

q4

＞0矛盾；
同理可得當0＜q＜1時，數列的前4項

1

q4

，

1

q3

，

1

q2

，

1

q

均為大于1，
數列的6、7、8項q，q²，q³均為（0，1）之間的數，
f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=q⁴lnq⁴=a₁=

1

q4

，
解得

1

q4

=e，故a₁=e
故答案為：0； e

點評：本題考查新定義，涉及函數的求值以及數列的求和，屬中檔題．