Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，O為△ABC的外心，D為BC邊上的中點，c=4，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AD}$=5，sinC+sinA-4sinB=0，則cosA=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{8}$

Answer 1

分析 O為△ABC的外心，D為BC邊上的中點，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），可得：$\overrightarrow{AO}$•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$）+$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}）$=5，三角形“外心”是三角形三條邊的垂直平分線的交點，所以“外心”就在垂直平分線線上．由點乘的幾何意義：$|\overrightarrow{AO}|=|\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}|$．同理$|\overrightarrow{A0}|=|\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}|$．可求b，再利用sinC+sinA-4sinB=0，求出a，利用余弦定理可得cosA的值．

解答 解：由題意，O為△ABC的外心，D為BC邊上的中點，可得：$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∵$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AD}$=5，
可得：$\overrightarrow{AO}$•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$）+$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}）$=5，
∴$|\overrightarrow{AO}|=|\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}|$．同理$|\overrightarrow{A0}|=|\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}|$．
∴$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{4}+\frac{{\overrightarrow{AC}}^{2}}{4}=5$，即$\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{{b}^{2}}{4}=5$；
∵c=4，
∴b=2，
又∵sinC+sinA-4sinB=0，
∴4b-c=a，
∴a=4．
由余弦定理可得：$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{1}{4}$
故選：C

點評 本題主要考查了三角形“外心”的運用以及向量的點乘的幾何意義的運用：余弦定理的計算．