Question

(本小題滿分14分)  設函數.

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，若函數在上是增函數，求的取值范圍；

（Ⅲ）若，不等式對任意恒成立，求整數的最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ） ；（Ⅱ）；（Ⅲ） ，整數的最大值為3 .

【解析】（1）當時，由導數的幾何意義求出

寫出切線方程；

（2）當，函數在上是增函數，只需在 上恒成立，可利用二次函數的性質直接求在上最小

值大于或等于0，關鍵是討論對稱軸與區間的關系；也可以分離參數求最值；

（3）當，易得函數在上遞增，要證，只需證，構造，研究單調性求其最小值，只需。

的最大值為3 .

解：（Ⅰ）當時，  所以  即切點為 

 因為 所以  

所以切線方程為  即

（Ⅱ）y=f(x)在[－1，1]上單調遞增，又 

方法一：（求函數的最值，即二次函數的動軸定區間最值）依題意在[－1，1]上恒有≥0，即 

①當；所以舍去；

②當； 所以舍去；

③當 

綜上所述，參數a的取值范圍是。

方法二：（分離參數法）

（Ⅲ）

由于，所以

所以函數在上遞增

所以不等式 對恒成立

構造        

構造      

對 ，  所以在遞增

所以,

所以,所以在遞減

,所以在遞增

所以, 結合得到

 

所以對恒成立，  所以 ，整數的最大值為3