Question

【題目】如圖，是通過某城市開發區中心O的兩條南北和東西走向的街道，連結M，N兩地之間的鐵路線是圓心在上的一段圓弧，若點M在點O正北方向3公里；點N到的距離分別為4公里和5公里.

（1）建立適當的坐標系，求鐵路線所在圓弧的方程；

（2）若該城市的某中學擬在點O的正東方向選址建分校，考慮環境問題，要求校址到點O的距離大于4公里，并且鐵路上任意一點到校址的距離不能小于公里，求該校址距點O的最短距離（注：校址視為一個點）

Answer 1

【答案】（1）（；（2）.

【解析】

（1）以垂直的直線為軸建立平面直角坐標系，設圓心坐標為，由圓心到兩點的距離相等求出，即圓心坐標，再求出半徑，可得圓方程，圓弧方程在圓方程中對變量加以限制即可。

（2）設校址坐標為，，根據條件列出不等式，由函數單調性求最值解決恒成立問題。

（1）以直線為軸，為軸，建立如圖所求的直角坐標系，則，，設圓心為，則，解得。即，圓半徑為，∴圓方程為，

∴鐵路線所在圓弧的方程為（。

（2）設校址為，，是鐵路上任一點，

則對恒成立，即對恒成立，

整理得對恒成立，

記，

∵，∴，在上是減函數，

∴，即，解得。

即校址距點最短距離是。