Question

某鄉鎮所屬A村、B村、C村位于一個邊長為a公里的正三角形的三頂點上，鄉鎮在對外經濟改革開放政策中已獲得一外資項目，準備在位于∠BAC的角平分線上的選址E處（記∠EBD=θ），修建一農副產品加工廠，要求使得E到三村的中敦f（θ）盡可能的小．
（1）試求出f（θ）關于θ的函數關系式；
（2）間θ為何值時，f（θ）最小？試述理由．

Answer 1

分析：（1）利用θ表示BE、ED，進而可得f（θ）關于θ的函數關系式；
（2）構造函數g(θ)=

2-sinθ

cosθ

（0≤θ≤

π

3

），求導函數，求得θ=

π

6

時，g(θ)=

2-sinθ

cosθ

取得最小值，從而可得f（θ）最小值及θ的值．

解答：解：（1）由題意得cosθ=

a 2

BE

，sinθ=

ED

BE

，
∴BE=

a

2cosθ

，ED=

asinθ

2cosθ

∴f（θ）=2BE+

3

2

a-ED=

a

2

•

2-sinθ

cosθ

+

3

2

a（0≤θ≤

π

3

）；
（2）構造函數g(θ)=

2-sinθ

cosθ

（0≤θ≤

π

3

），
∴g′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

（0≤θ≤

π

3

）；
令g′（θ）=0，可得sinθ=

1

2

，
∵0≤θ≤

π

3

，∴θ=

π

6

當0≤θ＜

π

6

時，g′（θ）＜0，函數單調遞減，
當

π

6

＜θ≤

π

3

時，g′（θ）＞0，函數單調遞增
所以θ=

π

6

時，g(θ)=

2-sinθ

cosθ

取得最小值g(

π

6

)  =

3

因為a＞0，所以g(θ)=

2-sinθ

cosθ

取得最小值時，f（θ）最小為

3

a，此時θ=

π

6

點評：本題考查利用導數知識解決實際問題，考查函數模型的確立，解題的關鍵是利用導數求得函數的單調性與最值．