Question

某鄉鎮所屬A村、B村、C村位于一個邊長為a公里的正三角形的三頂點上，鄉鎮在對外經濟改革開放政策中已獲得一外資項目，準備在位于∠BAC的角平分線上的選址E處（記∠EBD=θ），修建一農副產品加工廠，要求使得E到三村的中敦f（θ）盡可能的小．
（1）試求出f（θ）關于a的函數關系式；
（2）間θ為何值時，f（θ）最小？試述理由．

Answer 1

解：（1）由題意得，，
∵
∴f（θ）=2BE+a﹣ED=（0≤θ≤）；
（2）構造函數（0≤θ≤），
∴（0≤θ≤）；
令g'（θ）=0，可得sinθ=，
∵0≤θ≤，
∴θ=
當0≤θ＜時，g'（θ）＜0，函數單調遞減，
當＜θ≤時，g'（θ）＞0，函數單調遞增
所以θ=時，取得最小值
因為a＞0，所以取得最小值時，f（θ）最小為a，
此時θ=。