【題目】已知函數
．
（1）當
時，討論
的單調性；
（2）設函數
，若存在不相等的實數
，
，使得
，證明：
．
【答案】（1）見解析；（2）詳見解析.
【解析】
（1）對函數進行求導得
，再對
分三種情況進行討論；
（2）先求出
，再對
進行求導研究函數的圖象特征，當
時，圖象在
上是增函數，不符合題；當
時，再將問題轉化為構造函數
進行求解證明.
（1）函數
的定義域為
.
，
因為
，所以
，
①當
，即
時，
由
得
或
，由
得
，
所以在
，
上是增函數， 在
上是減函數；
②當
，即
時
，所以在上是增函數；
③當
，即
時，由得
或
，由得
，所以在
，
.上是增函數，在
.上是減函
綜上可知：
當時在，上是單調遞增，在上是單調遞減；
當時，在.上是單調遞增；
當時在，上是單調遞增，在上是單調遞減.
（2），
，
當時，
，所以
在上是增函數，故不存在不相等的實數
，
，使得
，所以.
由得
，即
，
不妨設
，則
，
要證
，只需證
，即證
，
只需證
，令
，只需證
，即證
，
令，則
，
所以
在上是增函數，所以
，
從而，故
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知：函數f（x）＝2lnx﹣ax2+3x，其中a∈R．
（1）若f（1）＝2，求函數f（x）的最大值；
（2）若a＝﹣1，正實數x1，x2滿足f（x1）+f（x2）＝0，證明：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E為MC的中點，則下列結論不正確的是（ ）
A. 平面
平面ABN B. 
C. 平面
平面AMN D. 平面
平面AMN
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知集合M是滿足下列性質的函數
的全體；在定義域內存在實數t，使得
．
（1）判斷
是否屬于集合M，并說明理由；
（2）若
屬于集合M，求實數a的取值范圍；
（3）若
，求證：對任意實數b，都有
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知無窮數列
的各項都是正數，其前
項和為
，且滿足：
，
，其中
，常數
．
（1）求證：
是一個定值；
（2）若數列是一個周期數列（存在正整數
，使得對任意
，都有
成立，則稱為周期數列，為它的一個周期），求該數列的最小周期；
（3）若數列是各項均為有理數的等差數列，
（），問：數列
中的所有項是否都是數列中的項？若是，請說明理由；若不是，請舉出反例．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
（
），其準線方程
，直線
過點
（
），且與拋物線交于
、
兩點，
為坐標原點.
（1）求拋物線方程，并注明：
的值與直線傾斜角的大小無關；
（2）若
為拋物線上的動點，記
的最小值為函數
，求的解析式.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
為給定的不小于
的正整數，考察個不同的正整數
，
，
，
構成的集合
，若集合
的任何兩個不同的非空子集所含元素的總和均不相等，則稱集合為“差異集合”．
（1）分別判斷集合
，集合
是否是“差異集合”；（只需寫出結論）
（2）設集合是“差異集合”，記
，求證：數列
的前
項和
；
（3）設集合是“差異集合”，求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某單位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，為調查身體健康狀況，需要從中抽取一個容量為m的樣本，用分層抽樣的方法進行抽樣調查，樣本中的中年人為6人，則n和m的值不可以是下列四個選項中的哪組( )
A.n=360，m=14B.n=420，m=15C.n=540，m=18D.n=660，m=19
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點A(0，－2)，橢圓E： 
(a>b>0)的離心率為
，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為
，O為坐標原點.
(1)求E的方程；
(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當△OPQ的面積最大時，求l的方程.
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