Question

已知橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的一個焦點與拋物線y²=8x的焦點重合，離心率e=

2 5

5

，過橢圓的右焦點F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點M（1，0），且(

MA

+

MB

)⊥

AB

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓和y²=8x拋物線有共同的焦點，求出拋物線的焦點坐標(biāo)，離心率e=

2 5

5

，根據(jù)a²=b²+c²，即可求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程和點A，B的坐標(biāo)，并代入(

MA

+

MB

)⊥

AB

，聯(lián)立聯(lián)立消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，△＞0，利用韋達(dá)定理即可求得．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的右焦點為（c，0），
因為y²=8x的焦點坐標(biāo)為（2，0），所以c=2
因為e=

c

a

=

2 5

5

，則a²=5，b²=1
故橢圓方程為：

x2

5

+y2=1
（2）由（I）得F（2，0），
設(shè)l的方程為y=k（x-2）（k≠0）
代入

x2

5

+y2=1，得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

20k2

5k2+1

，x1x2=

20k2-5

5k2+1

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁-y₂=k（x₁-x₂）
∴

MA

+

MB

=(x1-1，y1)+(x2-1，y2)=(x1+x2-2，y1+y2)，

AB

=(x2-x1，y2-y1)
∵(

MA

+

MB

)•

AB

=0，∴（x₁+x₂-2）（x₂-x₁）+（y₂-y₁）（y₁+y₂）=0∴

20k2

5k2+1

-2-

4k2

5k2+1

=0，
∴3k2-1=0，k=±

3

3

所以直線l的方程為y=±

3

3

(x-2)．

點評：此題是個難題．考查拋物線的定義和簡單的幾何性質(zhì)，待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線和橢圓相交中的有關(guān)中點弦的問題，綜合性強，特別是問題（2）的設(shè)問形式，增加了題目的難度，注意直線與圓錐曲線相交，△＞0．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法．