Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

（n∈N^*）．若bn+1=(n-2λ)•(

1

an

+1)（n∈N^*），b₁=-λ，且數列{b_n}是單調遞增數列，則實數λ的取值范圍是（　　）

• A、λ＞

  2

  3

• B、λ＞

  3

  2

• C、λ＜

  2

  3

• D、λ＜

  3

  2

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：由數列遞推式得到{

1

an

+1}是首項為2，公比為2的等比數列，求出其通項公式后代入b_n+1=（n-2λ）•2ⁿ，由b₂＞b₁求得實數λ的取值范圍，驗證滿足b_n+1=（n-2λ）•2ⁿ為增函數得答案．

解答： 解：由a_n+1=

an

an+2

得，

1

an+1

=

1

an

+1
則，

1

an+1

+1=2（

1

an

+1）
由a₁=1，得

1

a1

+1=2，
∴數列{

1

an

+1}是首項為2，公比為2的等比數列，
∴

1

an

+1=2×2^n-1=2ⁿ，
由b_n+1=（n-2λ）•（

1

an

+1）=（n-2λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，
b₂=（1-2λ）•2=2-4λ，
由b₂＞b₁，得2-4λ＞-λ，得λ＜

2

3

，
此時b_n+1=（n-2λ）•2ⁿ為增函數，滿足題意．
∴實數λ的取值范圍是（-∞，

2

3

）．
故選：C

點評：本題考查了變形利用等比數列的通項公式的方法、單調遞增數列，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．