Question

11．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$（a-x）e^x（a＞0），存在x∈[0，2]，使得f（x）≥e，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． [3，+∞）
• B． [2+ln2，+∞）
• C． [2e，+∞）
• D． [2+$\frac{2}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 存在x∈[0，2]，使得f（x）≥e，?a≥（2e^1-x+x）_min，x∈[0，2]．令g（x）=2e^1-x+x，x∈[0，2]．利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答 解：存在x∈[0，2]，使得f（x）≥e，?a≥（2e^1-x+x）_min，x∈[0，2]．
令g（x）=2e^1-x+x，x∈[0，2]．
g′（x）=-2e^1-x+1，令g′（x）=-2e^1-x+1=0，解得x=ln2+1．
可知：當x=ln2+1時，函數g（x）取得極小值，即最小值．
∴a≥2e^-ln2+ln2+1=2+ln2．
∴實數a的取值范圍是[2+ln2，+∞）．
故選：B．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、不等式與方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．