Question

一條生產線上生產的產品按質量情況分為三類：A類、B類、C類．檢驗員定時從該生產線上任取2件產品進行一次抽檢，若發現其中含有C類產品或2件都是B類產品，就需要調整設備，否則不需要調整．已知該生產線上生產的每件產品為A類品，B類品和C類品的概率分別為0.9，0.05和0.05，且各件產品的質量情況互不影響．
（Ⅰ）求在一次抽檢后，設備不需要調整的概率；
（Ⅱ）若檢驗員一天抽檢3次，以ξ表示一天中需要調整設備的次數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）設A_i表示事件“在一次抽檢中抽到的第i件產品為A類品”，i=1，2．
B_i表示事件“在一次抽檢中抽到的第i件產品為B類品”，i=1，2．
C表示事件“一次抽檢后，設備不需要調整”．
則C=A₁•A₂+A₁•B₂+B₁•A₂．
由已知P（A_i）=0.9，P（B_i）=0.05 i=1，2．
∴所求的概率為P（C）=P（A₁•A₂）+P（A₁•B₂）+P（B₁•A₂）
=0.9²+2×0.9×0.05=0.9．

（Ⅱ）∵檢驗員一天抽檢3次，
以ξ表示一天中需要調整設備的次數則ξ的可能取值為0、1、2、3
由（Ⅰ）知一次抽檢后，設備需要調整的概率為
=1-0.9=0.1，
依題意知，
ξ的分布列為
Eξ=np=3×0.1=0.3．
分析：（1）在一次抽檢后，設備不需要調整表示兩件都是A類產品或兩件中最多有一件B類產品，共包括三種情況，這三種結果是互斥的，而一次測的兩件產品質量相互之間沒有影響．
（2）檢驗員一天抽檢3次，以ξ表示一天中需要調整設備的次數，則ξ的可能取值為0、1、2、3，由題意知ξ～B（3，0.1），寫出隨機變量的分布列和期望．
點評：本題考查分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．