Question

已知橢圓C的長軸兩端點為A、B．若C上存在一點Q，且∠AQB=120°，求橢圓C的離心率的范圍．

Answer 1

分析：由對稱性不防設Q在x軸上方，坐標為（x₀，y₀），進而可表示出tan∠AQB整理出關于x₀和y₀的關系式，同時把Q點代入橢圓方程，表示出y₀進而根據y₀的范圍確定a和c的不等式關系，求得離心率的范圍．

解答：解：由對稱性不防設Q在x軸上方，坐標為（x₀，y₀），
則tan∠AQB=

kQB-kQA

1+ kQB KQA

=-

3

，即

y0 x0-a -  y0 x0+a

1+ y0 x0-a • y0 x0+a

=-

3

整理得

2ay0

x 2 0 -a2+y 20

=-

3

，①
∵Q在橢圓上，
∴

x

2 0

=a2(1-

y 2 0

b2

)，代入①得y₀=

2ab2

3 c2

，
∵0＜y₀≤b
∴0＜

2ab2

3 c2

≤b，化簡整理得3e⁴+4e²-4≥0，
解得

6

3

≤e＜1

點評：本題主要考查了橢圓的應用．涉及了直線的斜率和基本不等式等知識，難度不大但計算較繁瑣，考查了學生的運算能力．