Question

如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點，平面PAD∩平面PBC=l．
（1）求證：l∥BC．
（2）MN與平面PAD是否平行？試證明你的結論．

Answer 1

解：（1）證明：因為BC∥AD，BC?平面PAD．
AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD．
又因為平面PBC∩平面PAD=l，所以BC∥l（6分）
（2）：平行．如圖，取PD的中點E，連接AE、NE，
∵N是PC的中點，E是PD的中點
∴NE∥CD，且NE=
∵CD∥AB，M是AB的中點
∴NE∥AM且NE=AM．
所以四邊形ABCD為平行四邊形所以MN∥AE．又MN?平面PAD，
AE?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）
分析：（1）根據BC∥AD，我們可以知道BC∥平面PAD，由于平面PBC∩平面PAD=l，可以證得BC∥l；
（2）要證明MN∥平面PAD．關鍵是在平面PAD中找出直線與MN平行，由于M、N分別是AB、PC的中點，故可利用取中點的方法求解．
點評：本題以四棱錐為載體，考查線線平行，線面平行，證題的關鍵是合理運用線面平行的判定及性質定理．