Question

選修4-4：坐標系與參數方程
已知極點與坐標原點重合，極軸與x軸非負半軸重合，M是曲線C：ρ=4sinθ上任意一點，點P滿足

OP

=3

OM

，設點P的軌跡為曲線Q．
（Ⅰ）求曲線Q的方程；
（Ⅱ）設曲線Q與直線l：

x=-t y=t+a

（t為參數）相交于A，B兩點且|AB|=4，求實數a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點P（x，y）、M（x₁，y₁），把曲線C：ρ=4sinθ 化為直角坐標方程．再由

OP

=3

OM

求得

x1= x 3 y1= y 3

，代入曲線C的方程，化簡可得所求的曲線Q的方程．
（Ⅱ）直線l化為普通方程為 x+y-a=0，求出圓心到直線l的距離d，再利用弦長公式、根據|AB|=4，求得a的值．

解答：解：（Ⅰ）設點P（x，y）、M（x₁，y₁），曲線C：ρ=4sinθ 即 ρ²=4ρsinθ，
化為直角坐標方程為 x²+（y-2）²=4．
由

OP

=3

OM

，可得

x1= x 3 y1= y 3

，代入曲線C的方程可得 x²+（y-6）²=36，即為所求的曲線Q的方程．
（Ⅱ）直線l：

x=-t y=t+a

（t為參數）化為普通方程為 x+y-a=0，曲線Q的圓心N（0，6），半徑r=6，
圓心到直線l的距離d=

|6-a|

2

∴|AB|=4=2

r2-d2

=2

36-( 6-a 2 )2

，解得a=-2，或a=14．

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程，把參數方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于基礎題．