Question

（2011•晉中三模）選修4-4：坐標系與參數方程選講
在直角坐標系xoy中，曲線c₁的參數方程為：

x=2cosθ y=2sinθ

（θ為參數），把曲線c₁上所有點的縱坐標壓縮為原來的一半得到曲線c₂，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為

2

ρcos(θ-

π

4

)=4．
（1）求曲線c₂的普通方程，并指明曲線類型；
（2）過（1，0）點與l垂直的直線l₁與曲線c₂相交與A、B兩點，求弦AB的長．

Answer 1

分析：（1）由

x=2cosθ y=2sinθ

（θ為參數），得到曲線c₁的參數方程為：

x=2cosθ y=sinθ

（θ為參數）．再cosθ=

x

2

，sinθ= y利用三角函數的性質能夠得到曲線c₁的普通方程，由此能求出曲線c₂及其曲線類型．
（2）直線l的直角坐標方程為x+y=4，直線l₁的直角坐標方程為x-y=1．設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）由

x-y=1 x2 4 +y2=1

得3x²-8x=0，由此能求出弦AB的長．

解答：解：（1）由題曲線c₁的參數方程為：

x=2cosθ y=sinθ

（θ為參數）…（2分）
∴曲線c₁的普通方程為

x2

4

+y2=1，
∵曲線c₁上所有點的縱坐標壓縮為原來的一半得到曲線c₂，
∴曲線c₂：

x2

4

+4y2=1，表示以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為4，短軸長為

1

2

的橢圓．…（5分）
（2）∵直線l的極坐標方程為

2

ρcos(θ-

π

4

)=4，
即：ρcosθ+ρsinθ=4
令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直線l的直角坐標方程為x+y=4…（7分）
∴直線l₁的直角坐標方程為x-y=1，
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
由

x-y=1 x2 4 +y2=1

，
得3x²-8x=0
∴x1+x2=

8

3

，x1x2=0
∴|AB|=

1+1

64

3

=

8

3

2

…（10分）

點評：本題考查簡單曲線的極坐標方程及其應用，解題時要認真審題，正確地把曲線的極坐標方程轉化為普通方程．