Question

已知S_n是數列{

1

n

}的前n項和；
（1）分別計算S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄的值；
（2）證明：當n≥1時，S2n-S2n-1≥

1

2

，并指出等號成立條件；
（3）利用（2）的結論，找出一個適當的T∈N，使得S_r＞2008．

Answer 1

分析：（1）較為簡單，代入可計算；
（2）由（1）可猜想（2）的結論也是成立的，證明時要適當的放縮每一項（共2^n-1項）都縮小為

1

2n

，
（3）的解答可由（2）的結論想到：新數列S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄…中每一項的值都大于等于

1

2

，那么4018項的和為2009，于是對于數列{a_n}中連同a₁就有2⁴⁰¹⁹項，即a₁+S24019-S24018＞1+2009=2010．

解答：解：
（1）S₂-S₁=

1

2

，
S₄-S₂=

1

3

+

1

4

=

7

12

，
S₈-S₄=

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

=

168+140+120+105

840

=

533

840

．（2分）
（2）當n≥1時，S2n-S2n-1=

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

（共2^n-1項）
≥

1

2n

×2^n-1=

1

2

，當且僅當n=1時，等號成立．（4分）
（3）由于S₁=1，當n≥1時，S2^-S2n-1≥

1

2

，
于是，要使得S_T＞2008，只需

1

2

+

1

3

++

1

n

＞2007．
將

1

2

+

1

3

++

1

n

按照第一組2¹項，第二組2²項，，第n組2ⁿ項的方式分組（6分）
由（2）可知，每一組的和不小于

1

2

，且只有n=1時等于

1

2

，
將這樣的分組連續取2×2007組，加上a₁，共有2⁴⁰¹⁵項，
這2⁴⁰¹⁵項之和一定大于1+2007=2008，
故只需T=2⁴⁰¹⁵，就能使得S_T＞2008．

點評：本題考查了數列前n項和的概念，不等式恒成立問題，合理猜想與邏輯推理的概念．對不等式的考查有一定的難度，綜合性較強，需要同學有深厚的功底才能勝任本題的解答．