Question

（本小題滿分12分）

（理）已知S_n是正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₁²，S₂²、……、S_n² ……，是以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{b_n}為無(wú)窮等比數(shù)列，其前四項(xiàng)之和為120，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和為90．

(I)求a_n、b_n；(II)從數(shù)列{}中能否挑出唯一的無(wú)窮等比數(shù)列，使它的各項(xiàng)和等于．若能的話，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)和公比?若不能的話，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(I) a_n=(nÎN) 、b_n=3ⁿ(nÎN)

解析:

(I ){S_n}是以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；所以S_n²=3+(n–1)=n+2．

因?yàn)閍_n>0，所以S_n=(nÎN)．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n–S_n–1=–；

又a₁=S₁=，所以a_n=(nÎN) ．　　

設(shè){b_n}的首項(xiàng)為b₁，公比為q，則有所以，所以b_n=3ⁿ(nÎN)．　

(II) =()ⁿ，設(shè)可以挑出一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列{c_n}，首項(xiàng)為c₁=()^p，公比為()^k，(p、kÎN)， 它的各項(xiàng)和等于=，　則有，所以()^p=[1–()^k]，　　　

當(dāng)p≥k時(shí)3^p–3^p–k=8，即3^p–k(3^k–1)=8， 因?yàn)閜、kÎN，所以只有p–k=0，k=2時(shí)，

即p=k=2時(shí)，數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)和為．　　　　　

當(dāng)p<k時(shí)，3^k–1=8.3^k–p，因?yàn)閗>p右邊含有3的因數(shù)，而左邊非3的倍數(shù)，不存在p、kÎN，

所以唯一存在等比數(shù)列{c_n}，首項(xiàng)為，公比為，使它的各項(xiàng)和等于．