在平面直角坐標系
中，已知點
，
是動點，且
的三邊所在直線的斜率滿足
．
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）若
是軌跡上異于點的一個點，且
，直線
與
交于點
，問：是否存在點，使得
和
的面積滿足
？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
（1）
（
且
）,（2）
解析試題分析：（1）點的軌跡的方程,就是找出點橫坐標與縱坐標的關系式，而條件中只有點為未知，可直接利用斜率公式
化簡,得點的軌跡的方程為，求出軌跡的方程后需結合變形過程及觀察圖像進行去雜，本題中分母不為零是限制條件，（2）本題難點在于對條件的轉化，首先條件說明的是
，其次條件揭示的是
，兩者結合轉化為條件
，到此原題就轉化為：已知斜率為
的過點直線被拋物線截得弦長為
，求點的坐標.
試題解析：
（1）設點
為所求軌跡上的任意一點，則由
得，
，整理得軌跡
的方程為（且）． 3分
（2）:學設
由
可知直線，
則
，故
，即
， 5分
直線OP方程為：
①； 直線QA的斜率為：
，
∴直線QA方程為：
，即
②
聯立①②，得
，∴點M的橫坐標為定值
． 8分
由，得到，因為，所以
，
由
，得
，∴
的坐標為．
∴存在點P滿足
，的坐標為． 10分
考點：軌跡方程，直線與拋物線位置關系
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知直線l：y＝x＋
，圓O：x2＋y2＝5，橢圓E：
＝1(a>b>0)的離心率e＝
，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩條切線的斜率之積為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知定點A
(p為常數，p>0)，B為x軸負半軸上的一個動點，動點M使得|AM|＝|AB|，且線段BM的中點G在y軸上．
(1)求動點M的軌跡C的方程；
(2)設EF為曲線C的一條動弦(EF不垂直于x軸)，其垂直平分線與x軸交于點T(4,0)，當p＝2時，求|EF|的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動點P到點A(－2,0)與點B(2,0)的斜率之積為－
，點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)若點Q為曲線C上的一點，直線AQ，BQ與直線x＝4分別交于M，N兩點，直線BM與橢圓的交點為D.求證，A，D，N三點共線．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
拋物線
在點
，
處的切線垂直相交于點
，直線
與橢圓
相交于
，
兩點．
（1）求拋物線
的焦點
與橢圓
的左焦點
的距離；
（2）設點到直線的距離為
，試問：是否存在直線，使得
，，
成等比數列？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知兩點
，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為
.
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，直線PE、PF與圓
（
）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標原點）.
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過點
，離心率為
.
的方程；
且斜率為
的直線被橢圓所截得線段的中點坐標.
,且離心率
的橢圓
上下兩頂點分別為
,直線
交橢圓
于
兩點,直線
與直線
交于點
.
三點共線.
中，已知點
，動點
在
軸上的正射影為點
，且滿足直線
.
時，求直線
的方程.