Question

如圖，某建筑物的基本單元可近似地按以下方法構作：先在地平面α內作菱形ABCD，邊長為1，∠BAD=60°，再在α的上側，分別以△ABD與△CBD為底面安裝上相同的正棱錐P-ABD與Q-CBD，∠APB=90°．
（1）求證：PQ⊥BD；
（2）設AC與BD交于E，求cos∠PEQ；
（3）求點P到平面QBD的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證PQ⊥BD，取BD中點E，連接PE、QE，只須證明BD⊥平面PQE，從而BD⊥PQ．
（2）先在三角形PEQ分別求出各邊的長度，再利用余弦定理即可求得cos∠PEQ．
（3）由（1）知BD⊥平面PEQ．設點P到平面QBD的距離為h，利用三棱錐的等體積變換即可求得點P到平面QBD的距離．

解答：解：（1）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱錐，可知△PBD與△QBD是全等等腰△．取BD中點E，連接PE、QE，則BD⊥PE，BD⊥QE．
故BD⊥平面PQE，從而BD⊥PQ．
（2）作PM⊥平面α，垂足為M，作QN⊥平面α，垂足為N，則PM∥QN，M、N分別是正△ABD與正△BCD的中心，從而點A、M、E、N、C共線，PM與QN確定平面PACQ，且PMNQ為矩形．可得ME=NE=

3

6

，
PE=QE=

1

2

，PQ=MN=

3

3

，∴cos∠PEQ=

PE2+QE2-PQ2

2PE•QE

=

1

3

，
（3）由（1）知BD⊥平面PEQ．設點P到平面QBD的距離為h，則VP-QBD=

1

3

•S△QBD•h=

1

12

h
∴VP-QBD=

1

3

S△PEDBD=

1

24

sin∠PEQ=

1

24

1-( 1 3 )2

=

2

36

．
∴

1

12

h=

2

36

．∴h=

2

3

．

點評：本小題主要考查異面直線所成的角、空間中直線與直線之間的位置關系、點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．