Question

（2010•天津模擬）如圖，某建筑物的基本單元可近似地按以下方法構作：先在地平面α內作菱形ABCD，邊長為1，∠BAD=60°，再在α的上方，分別以△ABD與△CBD為底面安裝上相同的正棱錐P-ABD與Q-CBD，∠APB=90°．
（Ⅰ）求證：PQ⊥BD；
（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；
（Ⅲ）求點P到平面QBD的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明BD⊥PQ，利用線面垂直的性質可知，只需證明BD⊥平面PQE，利用△PBD與△QBD是全等等腰△．取BD中點E，連接PE、QE，則BD⊥PE，BD⊥QE．故可證；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角，作PM⊥平面α，垂足為M，作QN⊥平面α，垂足為N，則PM∥QN，M、N分別是正△ABD與正△BCD的中心，從而點A、M、E、N、C共線，PM與QN確定平面PACQ，且PMNQ為矩形，從而可求二面角的大小；
（Ⅲ）　由（Ⅰ）知BD⊥平面PEQ．設點P到平面QBD的距離為h，利用等體積，可求點P到平面QBD的距離．

解答：（Ⅰ）證明：由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱錐，
可知△PBD與△QBD是全等等腰△．…（1分）
取BD中點E，連接PE、QE，則BD⊥PE，BD⊥QE．
∵PE∩QE=E
∴BD⊥平面PQE，…（3分）
∵PQ?平面PQE
∴BD⊥PQ．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角，…（5分）
作PM⊥平面α，垂足為M，作QN⊥平面α，垂足為N，
則PM∥QN，M、N分別是正△ABD與正△BCD的中心，
從而點A、M、E、N、C共線，PM與QN確定平面PACQ，且PMNQ為矩形．　　　　　　　　　…（6分）
可得ME=NE=

3

6

，PE=QE=

1

2

，PQ=MN=

3

3

，…（7分）
∴cos∠PEQ=

PE2+QE2-PQ2

2PE•QE

=

1

3

，
即二面角為arccos

1

3

．…（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BD⊥平面PEQ．
設點P到平面QBD的距離為h，則VP-QBD=

1

3

•S△QBD•h=

1

12

h
又VP-QBD=

1

3

S△PEDBD=

1

24

sin∠PEQ=

1

24

1-( 1 3 )2

=

2

36

．
∴

1

12

h=

2

36

．
∴h=

2

3

．…（12分）

點評：本題以多面體為載體，考查線面垂直的性質，考查線線垂直，考查面面角，考查點面距離，解題的關鍵是合理運用線面垂直的性質，正確作出面面角．