Question

已知函數y=f（x）（x∈R）對任意實數x，y，有f(x)+f(y)=2f(

x+y

2

)•f(

x-y

2

)恒成立，且f（0）≠0
（1）求f（0）的值；
（2）試判斷函數y=f（x）（x∈R）的奇偶性；
（3）若函數y=f（x）（x∈R）在[0，+∞）上單調遞增，f（x-1）-2a+3≥0恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可以令x=y=0，代入f(x)+f(y)=2f(

x+y

2

)•f(

x-y

2

)進行求解，求出f（0）；
（2）令y=-x，代入f(x)+f(y)=2f(

x+y

2

)•f(

x-y

2

)，再把f（0）的值代入，可以求出f（x）為偶函數；
（3）函數y=f（x）（x∈R）在[0，+∞）上單調遞增，求出f（x-1）的單調性，因為f（x-1）-2a+3≥0恒成立，求出f（x-1）的最小值即可求解；

解答：解（1）令x=y=0，
∴2f（0）=2f（0）•f（0）
∴f（0）=0或f（0）=1而f（0）≠0
∴f（0）=1
（2）令y=-x
∴f（x）+f（-x）=2[f（0）•f（x）]
由（1）知f（0）=1
∴f（-x）=f（x）
∵f（x）的定義域為R
∴f（x）為偶函數
（3）∵y=f（x）是偶函數且在[0，+∞）上單調遞增
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞減
∴f（x-1）在（-∞，1）上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增
∴f（x-1）_min=f（0）=1，
∴f（x-1）-2a+3≥0恒成立，只需1-2a+3≥0，
∴a≤2；

點評：此題主要考查抽象函數的應用，本題涉及函數的恒成立問題，解題的過程中用到了轉化的思想，此題是一道中檔題；