Question

已知命題P：函數f（x）=-

1

3

x³+mx²-（m+2）x+3在實數集R上是減函數； 命題Q：函數g（x）=

1

2

x²mlnx在[1，+∞）上是增函數．若命題P與命題Q中至少有一個是假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：分別判斷命題P，Q為真命題時的等價條件，然后利用復合命題之間的關系確定參數m的取值范圍．

解答：解：假設命題P與Q沒有一個是假命題，即P，Q都為真命題．
（1）函數的導數為f'（x）=-x²+2mx-（m+2），要使函數在R上為減函數，
所以f'（x）=-x²+2mx-（m+2）≤0恒成立，所以4m²-4（m+2）≤0，解得-1≤m≤2．
（2）函數g（x）=

1

2

x²mlnx在[1，+∞）上是增函數．
則g′(x)=x-

m

x

≥0，在[1，+∞)上恒成立，
所以m≤x²在[1，+∞）上成立，所以m≤1．
綜上P，Q都為真命題時，-1≤m≤1．所以命題P與命題Q中至少有一個是假命題時，則m＜-1或m＞1．

點評：本題主要考查復合命題的真假判斷，要求熟練掌握復合命題與簡單命題的真假關系．