Question

設橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足．
（I）求橢圓C的離心率；
（II）若過A、B、F₂三點的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程．

Answer 1

解：（I）由題意可知，F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b），求橢圓C的離心率；
∵，可知F₁為BF₂的中點．
又AB⊥AF₂，
∴Rt△ABF₂中，BF₂²=AB₂+AF₂²，
，
又a²=b²+c²，
∴a=2c．
故橢圓的離心率e=．
（II）由（I）知，，c=，于是F₂（，0），B（），
RtABF₂的外接圓圓心為F₁（-，0），半徑為r=a，
圓與直線相切，
∴，解得a=2，∴c=1，b=．
∴所求橢圓方程為．
分析：（I）求出左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A的坐標，通過，推出a，b，c的關系，結合a²=b²+c²，即可求橢圓C的離心率；
（II）利用（I）求出過A、B、F₂三點的圓的圓心與半徑，利用圓與直線相切圓心到直線的距離等于半徑，求出a，b，即可求橢圓C的方程．
點評：本題是中檔題，考查橢圓離心率的求法，橢圓的標準方程的求法，直線與圓的位置關系，考查計算能力，轉化思想的應用．