Question

已知函數(shù)f(x)=-alnx+(a+1)x-

1

2

x2 (a＞0)
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f(x)≥-

1

2

x2+ax+b恒成立，求實(shí)數(shù)ab的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，確定a的范圍，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）求導(dǎo)數(shù)可得，f′（x）=

(x-a)(-x+1)

x

∵x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，
∴0＜a＜1
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a），（1，+∞）；
（2）∵f(x)≥-

1

2

x2+ax+b恒成立，
∴alnx-x+b≤0恒成立，
令g（x）=alnx-x+b，則g′（x）=

a-x

x

∴g（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，在（a，+∞）上單調(diào)遞減
∴g（x）_max=g（a）=alna-a+b≤0
∴b≤a-lna，∴ab≤a²-a²lna
令h（x）=x²-x²lnx（x＞0），則h′（x）=x（1-2lnx）
∴h（x）在（0，e

1

2

）上單調(diào)遞增，在（e

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減
∴h（x）_max=h（e

1

2

）=

e

2

，∴ab≤

e

2

即ab的最大值為

e

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的最值，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．