Question

（理）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且滿足csinA=acosC．當(dāng)

3

sinA-cos(B+

π

4

)取最大值時(shí)，A的大小為（　　）

• A．

  π

  3

• B．

  π

  4

• C．

  π

  6

• D．

  2π

  3

Answer 1

分析：根據(jù)正弦定理化簡csinA=acosC，得到sinC=cosC，從而C=

π

4

．由此利用誘導(dǎo)公式和兩角和與差的三角函數(shù)公式，化簡得

3

sinA-cos(B+

π

4

)=2sin(B+

π

12

)，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，算出B=

5π

12

時(shí)

3

sinA-cos(B+

π

4

)達(dá)到最大值2．最后利用三角形內(nèi)角和定理，即可算出相應(yīng)角A的大小．

解答：解：∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC，
移項(xiàng)整理，得sinA（sinC-cosC）=0，
∵A是三角形的內(nèi)角，可得sinA＞0，
∴sinC-cosC=0，即sinC=cosC，可得C=

π

4

．
∴

3

sinA-cos(B+

π

4

)=

3

sin(π-A)-cos(B+

π

4

)
=

3

sin(B+C)-cos(B+

π

4

)=

3

sin(B+

π

4

)-cos(B+

π

4

)
=2sin[(B+

π

4

)-

π

6

]=2sin(B+

π

12

)，
∵B∈（0，

3π

4

），得B+

π

12

∈(

π

12

，

5π

6

)，
∴當(dāng)B+

π

12

=

π

2

時(shí)，即B=

5π

12

時(shí)，

3

sinA-cos(B+

π

4

)達(dá)到最大值2．
此時(shí)A=π-B-C=

π

3

．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的邊角關(guān)系式，求角C大小并依此求

3

sinA-cos(B+

π

4

)達(dá)到最大值時(shí)角A的大小．著重考查了正弦定理、三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．