Question

如圖，棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面BCC₁B₁是菱形，B₁C⊥A₁B，D是A₁C₁的中點，證明：
（Ⅰ）A₁B∥平面B₁CD
（Ⅱ）平面AB₁C⊥平面A₁BC₁．

Answer 1

分析：（I）取AC的中點O，先證BO、A₁O平行于平面B₁CD，再證平面A₁BO∥平面B₁CD，由面面平行的性質可證A₁B∥平面B₁CD．
（II）證明平面AB₁C內的直線B₁C垂直平面A₁BC₁，內的兩條相交直線A₁B，BC₁，即可證明平面AB₁C⊥平面A₁BC₁．

解答：證明：（I）取AC的中點O，連接OA₁，OB．
∵OC∥A₁D，OC=A₁D，∴四邊形A₁OCD為平行四邊形，∴A₁O∥CD，
又A₁O?平面B₁CD，CD?平面B₁CD，∴A₁O∥平面B₁CD，
同理可證BO∥平面B₁CD，
又A₁O∩BO=O，∴平面B₁CD∥平面A₁BO，又∵A₁B?平面A₁BO，
∴A₁B∥平面B₁CD．
（II）證明：因為側面BCC₁B₁是菱形，所以B₁C⊥BC₁
又已知B₁C⊥A₁B，且A₁B∩BC₁=B，
又B₁C⊥平面A₁BC₁，又B₁C?平面AB₁C，
所以平面AB₁C⊥平面A₁BC₁．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的性質，考查空間想象能力，邏輯思維能力．