Question

記有限集合A的元素個數(shù)為n(A)，那么有n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)；n(A∪B∪C)＝n(A)＋n(B)＋n(C)－n(A∩B)－n(A∩C)－n(B∩C)＋n(A∩B∩C)．解下列題目：一次會議有1990位數(shù)學(xué)家參加，每人至少有1327位合作者，求證：可以找到千位數(shù)學(xué)家，他們中每兩個人都合作過．

Answer 1

答案：
解析：

解：記數(shù)學(xué)家們?yōu)閂i(i＝1，2，3，…，1990)，與Vi合作過的數(shù)學(xué)家組成集合Ai，任取合作過的兩位數(shù)學(xué)家記為V1，V2，則n(A1)≥1327，n(A1)≥1327，n(A1∪A2)≤1990，得n(A1∩A2)＝n(A1)＋n(A2)－n(A1∪A2)≥1327×2－1990＞0，從而存在數(shù)學(xué)家V3∈A1∩A2，V3≠V1，V3≠V2 　　又∵n(A1∩A2∩A3)＝n(A1∩A2)＋n(A3)－n[(A1∩A2)∪A3]≥[(1327×2)－1990]＋1327－1990＝1 　　∴存在數(shù)學(xué)家V4∈A1∩A2∩A3，V4≠V1，V4≠V2，V4≠V3 　　∴數(shù)學(xué)家V1，V2，V3，V4兩兩合作過． 　　從而問題得證． 　　思想方法小結(jié)：本題實質(zhì)是證明A1∩A2∩A3≠φ．

提示：

將實際問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用集合思想加以解決，充分利用上面兩個集合元素個數(shù)的公式．