Question

本題滿分13分如圖，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是邊長為1

 

的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分別是EC、BD的中點．

（I）求證：GF//底面ABC；

（Ⅱ）求證：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求幾何體ADEBC的體積V．

 

Answer 1

【答案】

解：（I）證法一：取BE的中點H，連結HF、GH，（如圖1）

∵G、F分別是EC和BD的中點

∴HG//BC，HF//DE，……………… 2分

又∵ADEB為正方形    ∴DE//AB，從而HF//AB

∴HF//平面ABC，HG//平面ABC, HF∩HG=H,

∴平面HGF//平面ABC

∴GF//平面ABC………………4分

（Ⅱ）∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面AB………………5分

又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC       ………………6分

∴BE⊥AC         

又∵CA²+CB²=AB²

∴AC⊥BC,     

∵BC∩BE=B,

∴AC⊥平面BCE                                  ………………8分

（Ⅲ）連結CN，因為AC=BC，∴CN⊥AB，             ……………… 9分

又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED�！�…………… 10分

∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，       ………………11分

∵C—ABED是四棱錐,

∴V_C—ABED=                       ………………13分

【解析】略