Question

(本題滿分13分)

如圖，在六面體中，平面∥平面，

⊥平面，,,

∥．且,．

   （1）求證： ∥平面；

   （2）求二面角的余弦值；

   （3） 求五面體的體積．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）略

（2）

（3）4

【解析】由已知，AD、DE、DG兩兩垂直，建立如圖的坐標系，

則A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）

（1），

∴，所以BF∥CG．又BF平面ACGD，故 BF//平面ACGD …4分

（2），設平面BCGF的法向量為，

    則，令，則，

而平面ADGC的法向量

    ∴＝  

故二面角D-CG-F的余弦值為．9分

    （3）設DG的中點為M，連接AM、FM，  則＝

    ＝＝＝．……………13分

解法二設DG的中點為M，連接AM、FM，則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，

所以MF//DE，且MF＝DE又∵AB//DE，且AB＝DE   ∴MF//AB，且MF＝AB

    ∴四邊形ABMF是平行四邊形，即BF//AM，

    又BF平面ACGD 故 BF//平面ACGD……………4分

    （利用面面平行的性質定理證明，可參照給分）

   （Ⅱ）由已知AD⊥面DEFG∴DE⊥AD ，DE⊥DG即DE⊥面ADGC ，

    ∵MF//DE，且MF＝DE ，  ∴MF⊥面ADGC

    在平面ADGC中，過M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，則

    顯然∠MNF是所求二面角的平面角．

∵在四邊形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM＝MG＝1

    ∴， ∴MN＝    在直角三角形MNF中，MF＝2，MN

    ∴＝＝＝，＝

    故二面角D-CG-F的余弦值為 …………9分

   （3）＝＝

    ＝＝．……………13分