Question

【題目】已知函數f（x）=3x的定義域為R，滿足f（a+2）=18，函數g（x）=λ3ax﹣4x的定義域為[0，1]．
（1）求實數a的值；
（2）若函數g（x）為定義域上單調減函數，求實數λ的取值范圍；
（3）λ為何值時，函數g（x）的最大值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（a+2）=3a+2=18，∴3a=2，即a=log32
（2）解：由（1）可知g（x）=λ3 ﹣4x=λ2x﹣4x，

設2x=t，t∈[1，2]，h（t）=λt﹣t2，

∵t=2x是增函數，g（x）是減函數，

∴h（t）=λt﹣t2在[1，2]上是減函數，

∴ ≤1，即λ≤2

（3）解：由（2）可知h（t）=﹣t2+λt，t∈[1，2]的最大值為 ，

①若 ≥2即λ≥4，則h（t）在[1，2]上單調遞增，

∴h（2）=﹣4+2λ= ，解得λ= （舍）．

②若 ≤1即λ≤2時，則h（t）在[1，2]上單調遞減，

∴h（1）=﹣1+λ= ，解得λ= ．

③若1＜ ＜2，即2＜λ＜4，則h（t）在[1，2]上先增后減，

∴h（ ）=﹣ + = ，解得λ= （舍）．

綜上，λ=

【解析】（1）根據f（a+2）=18計算a；（2）設t=2x，根據復合函數的單調性得出h（t）=λt﹣t2在[1，2]上單調遞減，從而得出λ的范圍；（3）討論對稱軸與區間[1，2]的關系得出h（t）的單調性，根據最大值為 計算λ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．