Question

已知動圓與圓F₁:(x+3)²+y²=和圓F₂：(x-3)²+y²=都外切．

(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(Ⅱ)若直線l被軌跡C所截得的線段的中點坐標為(-20，-16)，求直線l的方程；

(Ⅲ)若點P在直線l上，且過點P的橢圓E以軌跡，C的焦點為焦點，試求點P在什么位置時，橢圓E的長軸最短，并求出這個具有最短長軸的橢圓E的方程．

Answer 1

解:(Ⅰ)設動圓半徑為r，圓心為M，則由已知得：

 ∴|MF₂|-|MF₁|=2．

∴動圓圓心的軌跡C為以F₁，F₂為焦點，實軸長為2的雙曲線的左支，易得其方程為：=1(x＜0)．

(Ⅱ)設l的方程為：y+16=A(x+20)，并設l與軌跡C的交點坐標為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，則由已知得：

=-20，即x₁+x₂=-40  ① 

由消去y得:

(4-5k²)x²-10k(20k-16)x-5(20k-16)²-20=0，

∴x₁+x₂=    ②

由①②得：=-40，∴k=1．

∴所求直線l的方程為y=x+4；

(Ⅲ)橢圓的長軸K等于|PF₁|+|PF₂|，要長軸最短，只需在直線l上找一點P，使點P到F₁、F₂的距離之和最小．由平面幾何知識知：作F₁關于l的對稱點Q，連接QF₂交直線l于點P，則點P即為所求點，坐標為()． 

此時長軸2a=|PF₁|+|PF₂|=|PQ|+|PF₂|=|QF₂|=5．

從而a²=，c=3．∴b²=a²-c²=-9=．

∴橢圓E的方程為：=1．