Question

已知數列｛b_n｝是等差數列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100.

（Ⅰ）求數列｛b_n｝的通項b_n；

（Ⅱ）設數列｛a_n｝的通項a_n=lg（1+），記S_n是數列｛a_n｝的前n項和，試比較S_n與lgb_n+1的大小，并證明你的結論.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）設數列｛bn｝的公差為d，由題意得 解得  ∴bn=2n－1. （Ⅱ）由bn=2n－1，知 Sn=lg（1+1）+lg（1+）+…+lg（1+） =lg［（1+1）（1+）…（1+）］， lgbn+1=lg. 因此要比較Sn與lgbn+1的大小，可先比較（1+1）（1+）…（1+）與的大小. 取n=1，有（1+1）＞， 取n=2，有（1+1）（1+）＞，…… 由此推測（1+1）（1+）…（1+）＞.　　   ① 若①式成立，則由對數函數性質可斷定：Sn＞lgbn+1. 下面用數學歸納法證明①式. （i）當n=1時已驗證①式成立. （ii）假設當n=k（k≥1）時，①式成立，即（1+1）（1+）…（1+）＞. 那么，當n=k+1時，（1+1）（1+）…（1+）［1+］＞ ·（1+）=（2k+2）. ∵［（2k+2）］2－（）2 ＝， ∴. 因而  這就是說①式當n=k+1時也成立. 由（i），（ii）知①式對任何正整數n都成立. 由此證得：Sn＞lgbn+1.