Question

【題目】如圖所示，四棱錐的底面是梯形，且, 平面， 是中點(diǎn)， ．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若， ，求直線與平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）．

【解析】試題分析：（I）取的中點(diǎn)，連結(jié)，證得，從而證得平面，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得，即可證明平面；（II）分別以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求解出平面和向量，即可利用向量所成的角，得到直線與平面所成角的大小．

試題解析：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，如圖所示．

因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以．又因?yàn)?/span>，

所以平面．

因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，所以，且．

又因?yàn)?/span>，且，所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面．

（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)O，G分別為AD，BC的中點(diǎn)，連結(jié)，則，

因?yàn)?/span>平面， 平面，所以，所以．

因?yàn)?/span>，由（Ⅰ）知， 又因?yàn)?/span>，

所以，所以

所以為正三角形，所以，

因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以．

又因?yàn)?/span>，所以平面．

故兩兩垂直，可以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

， ， ，

所以， ， ，

設(shè)平面的法向量，

則所以取，則，

設(shè)與平面所成的角為，則，

因?yàn)?/span>，所以，所以與平面所成角的大小為．