Question

【題目】定義：若存在常數，使得對定義域D內的任意兩個不同的實數，均有：成立，則稱在D上滿足利普希茨(Lipschitz)條件．

（1）試舉出一個滿足利普希茨(Lipschitz)條件的函數及常數的值，并加以驗證；

（2）若函數在上滿足利普希茨(Lipschitz)條件，求常數的最小值；

（3)現有函數，請找出所有的一次函數，使得下列條件同時成立：

①函數滿足利普希茨(Lipschitz)條件；

②方程的根也是方程的根，且；

③方程在區間上有且僅有一解．

Answer 1

【答案】（1），見解析；（2）（3）

【解析】

（1）令可以滿足題意，一次函數和常值函數都可以滿足；

（2）根據定義化簡，得出k的最小值；

（3）由于所有一次函數均滿足（1）故設是的根，推得，若符合題意，則也符合題意，可以只考慮的情形，分①若，②若，分別驗證是否滿足題意，可得k的范圍.

（1）例如令由

知可取滿足題意（任何一次函數或常值函數等均可）。

（2）在為增函數對任意有

（當時取到）所以

（3）由于所有一次函數均滿足（1）故設是的根，

又

若符合題意，則也符合題意，故以下僅考慮的情形。

設

①若，則由且

所以，在中另有一根，矛盾。

②若，則由

所以，在中另有一根，矛盾。

以下證明，對任意符合題意。

當時，由圖象在連接兩點的線段的上方知

當時，

當時，

綜上：有且僅有一個解，在滿足題意。

綜上所述：,

故得解.