Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意的實(shí)數(shù)m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞1成立．
（Ⅰ）求f（0）的值，并證明當(dāng)x＜0時(shí)，有0＜f（x）＜1成立；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）若f（1）=2，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n）（n∈N^*），記Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，且對一切正整數(shù)n有f(

1-m

)＞2Sn恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意的實(shí)數(shù)m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，令x=0，y=1，即可求得f（0）的值；且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，可證有0＜f（x）＜1成立；
（II）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義討論函數(shù)的單調(diào)性；
（III）f（1）=2，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n），探討數(shù)列{a_n}的特性，從而求得s_n，對一切正整數(shù)n有f(

1-m

)＞2Sn恒成立，
求得s_n的最值，求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）令m=0，n=1，得f（1）=f（0）f（1），
由題意得f（1）＞1，所以f（0）=1．
若x＜0，則f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，
∴f(x)=

1

f(-x)

．
由已知f（-x）＞1，得0＜f（x）＜1．

（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R且設(shè)x₁＞x₂，
由已知和（Ⅰ）得f（x）＞0（x∈R），
∴

f(x1)

f(x2)

=

f(x1-x2+x2)

f(x2)

=f(x1-x2)，（7分）∵x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．

（Ⅲ）

an

an-1

=

f(n)

f(n-1)

=f(1)=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
∴a_n=2ⁿ．Sn=

1

a1

+

1

a2

++

1

an

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n．
又對一切正整數(shù)n，有f(

1-m

)＞2Sn恒成立，
即f(

1-m

)≥2恒成立．
又f（1）=2，∴f(

1-m

)≥f(1)恒成立．
又由（Ⅱ）得

1-m

≥1，
解得m的取值范圍是m≤0．

點(diǎn)評：考查抽象函數(shù)賦值法求某些點(diǎn)的函數(shù)值，利用函數(shù)單調(diào)性的定義討論抽象函數(shù)的單調(diào)性問題，特別是（Ⅲ）和數(shù)列和恒成立問題綜合，加大了試題的難度，屬難題．