Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC的四個面中，直角三角形的個數有（　　）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：AB是圓O的直徑，得出三角形ABC是直角三角形，由于PA垂直于圓O所在的平面，根據線面垂直的性質定理得出PA垂直于AC，BC，從而得出兩個直角三角形，可以證明BC垂直于平面PAC，從而得出三角形PBC也是直角三角形，從而問題解決．

解答：證明：∵AB是圓O的直徑
∴∠ACB=90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形
又∵PA⊥圓O所在平面，
∴△PAC，△PAB是直角三角形．
且BC在這個平面內，
∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中兩條相交直線，
∴BC⊥平面PAC，
∴△PBC是直角三角形．
從而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的個數是：4．
故選：A

點評：本題考查面面垂直的判定定理的應用，要注意轉化思想的應用，將面面垂直轉化為線面垂直．