Question

y=x+2sinx在[

π

2

，π]上的最大值是

2π

3

+

3

．

Answer 1

分析：對函數進行求導，得到導函數，令導函數y′=0，求出方程的根，將方程的根的函數值和區間端點的函數值比較大小，即可求出其最大值．

解答：解：∵y=x+2sinx，
∴y′=1+2cosx，x∈[

π

2

，π]，
令y′=1+cosx=0，解得cosx=-

1

2

∈[-1，0]，
當cosx∈[-

1

2

，0]，即x∈[

π

2

，

2π

3

]時，y′=1+2cosx＞0，
∴函數y=x+2sinx在[

π

2

，

2π

3

]上是單調遞增函數，
當cosx∈[-1，-

1

2

]，即x∈[

2π

3

，π]時，y′=1+2cosx＜0，
∴函數y=x+2sinx在[

2π

3

，π]上是單調遞減函數，
∴當cosx=-

1

2

時，函數y=x+2sinx有最大值為

2π

3

+2×sin

2π

3

=

2π

3

+

3

，
y=x+2sinx在[

π

2

，π]上的最大值是

2π

3

+

3

．
故答案為：

2π

3

+

3

．

點評：本題考查了利用導數研究函數在閉區間上的最值，一般是求出導函數對應方程的根，然后求出跟對應的函數值，區間端點的函數值，然后比較大小即可得到函數在閉區間上的最值．解題中要求能對基本題初等函數進行正確的求導，要數學求導的相關運算．屬于中檔題．