Question

【題目】對于定義域為的函數，若同時滿足下列條件：①在內有單調性；②存在區間，使在區間上的值域也為，則稱為上的精彩函數，為函數的精彩區間．

（1）求精彩區間符合條件的精彩區間；

（2）判斷函數是否為精彩函數？并說明理由．

（3）若函數是精彩函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1),,;(2)不是精彩函數,證明見解析;(3).

【解析】

(1)由精彩函數的定義,建立等量關系,即可求得符合條件的精彩區間;

(2)判斷函數是否滿足精彩函數的條件即可.

(3)由函數在定義域上單調遞增,然后由有兩個不等的實數解,轉化為利用根的判別式求解的取值范圍.

(1)由函數在定義域上為增函數,則由題意可得,解得,所以函數符合條件的精彩區間有:,,.

(2)不是精彩函數,證明如下:

由函數在區間(0,2)上單調遞減,在區間(2,+)上單調遞增,可得函數在定義域(0,+)上不單調,即不滿足精彩函數的第一個條件,所以函數不是精彩函數.

(3)由函數定義域為,且易知函數在定義域上為單調遞增函數,

因函數是精彩函數,則需有兩個不等的實數解,即方程有兩個不等的實數根設為,且,, ,

則令,

由題意得:,

聯立解得