Question

【題目】已知函數(shù)，，，，給出以下四個(gè)命題：（1）是偶函數(shù)；（2）是偶函數(shù)；（3）的最小值為；（4）有兩個(gè)零點(diǎn)；其中真命題的是______.

Answer 1

【答案】（1）（3）（4）

【解析】

利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷（1）、（2）的正誤；利用導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)法求得函數(shù)的最小值，可判斷（3）的正誤；利用復(fù)合函數(shù)法與導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷（4）的正誤.綜合可得出結(jié)論.

對(duì)于命題（1），對(duì)于函數(shù)，，即，解得或，

所以，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

，則，

所以，函數(shù)為偶函數(shù)，命題（1）正確；

對(duì)于命題（2），對(duì)于函數(shù)，，

，令，得，且函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.

所以，，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，命題（2）錯(cuò)誤；

對(duì)于命題（3），對(duì)于函數(shù)，，

由（2）知，函數(shù)的最小值為，則函數(shù)的最小值為，命題（3）正確；

對(duì)于命題（4），令，可得，則或，

由（2）知，，所以方程無(wú)解；

令，

由（2）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，，，

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，

所以，方程有兩個(gè)實(shí)根，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，命題（4）正確.

故答案為：（1）（3）（4）.