Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設：

2

bn

=

1

an

+1，求數列{b_nb_n+1}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，取倒數，可得數列{

1

an

}是以1為首項，2為公差的等差數列，由此可求數列的通項；
（2）確定數列的通項，利用裂項法，可求數列的和．

解答：解：（1）∵a_n+1=

an

2an+1

，∴

1

an+1

-

1

an

=2
∵a₁=1，∴

1

a1

=1
∴數列{

1

an

}是以1為首項，2為公差的等差數列
∴

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，
∴an=

1

2n-1

；
（2）∵

2

bn

=

1

an

+1，∴

2

bn

=2n，∴bn=

1

n

∴b_nb_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴數列{b_nb_n+1}的前n項和T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查數列遞推式，考查等差數列的證明，考查數列的通項與求和，正確運用求和公式是關鍵．