Question

9．一個圓經過橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$的三個頂點，且圓心在x軸的負半軸上，則該圓的標準方程為${（{x+\frac{3}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 由橢圓的方程求出頂點坐標，然后求出圓心坐標，進一步求出圓的半徑可得圓的方程．

解答 解：由$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，可知橢圓的右頂點坐標（4，0），上下頂點坐標（0，±2），
∵圓經過橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$的三個頂點，且圓心在x軸上．
當圓經過橢圓右頂點及短軸兩端點時，
設圓的圓心（a，0），a＞0，則$\sqrt{{a}^{2}+4}$=4-a，解得a=$\frac{3}{2}$，
由橢圓在x軸正半軸，不滿足；
當圓經過橢圓左頂點及短軸兩端點時，
設圓的圓心（a，0），a＜0，則$\sqrt{{a}^{2}+4}$=4+a，解得a=-$\frac{3}{2}$，圓的半徑為r=$\frac{5}{2}$，
∴所求圓的方程：（x+$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$，
故答案為：（x+$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質的應用，圓的方程的求法，考查計算能力，是基礎題．