Question

已知橢圓的兩個焦點和上下兩個頂點是一個邊長為2且∠F₁B₁F₂為的菱形的四個頂點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點F₂ ，斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，A為橢圓的右頂點，直線、分別交直線于點、，線段的中點為，記直線的斜率為.求證:為定值.

 

Answer 1

【答案】

(1)；（2）為定值.

【解析】

試題分析：(1)由橢圓兩個焦點和上下兩個頂點是一個邊長為2且∠F₁B₁F₂為的菱形的四個頂點可得，從而得到橢圓方程.（2）通過題目條件，將直線方程設出來，再將它與橢圓交點坐標設出來，即點，點，再分別表示出直線、的方程，令，得到點,，的坐標，再利用中點坐標公式得到線段的中點為的坐標，利用斜率公式即得到，通過聯立直線與橢圓方程，用韋達定理替換，，化簡之后即可證明為定值.本題利用“設而不求”達到證明的目的，充分利用韋達定理消去繁雜的未知數.這是解決帶有直線與圓錐曲線交點問題的常用的手段.

試題解析：(1)由條件知，    2分

故所求橢圓方程為.    4分

（2）設過點的直線方程為：，設點，點，

將直線方程代入橢圓：，

整理得：，    6分

因為點在橢圓內，所以直線和橢圓都相交，恒成立，且

    8分

直線的方程為：，直線的方程為：，令，

得點，，所以點的坐標.    9分

直線的斜率為.

.    11分

將代入上式得：

.

所以為定值.    14分

考點：1.橢圓的簡單幾何性質；2.直線與圓錐曲線的位置關系；3.斜率公式及直線方程.