Question

設二元一次不等式組

x≥2 y≥1 x+2y-6≤0

所表示的平面區域為M．若曲線x²-my²=1總經過區域M，則實數m的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，

  3

  4

  ）
• B、[15，+∞）
• C、（

  3

  4

  ，15）
• D、[

  3

  4

  ，15]

Answer 1

分析：由于題目中給的曲線的方程中含有參數，故可選對參數m進行分類討論，以確定曲線的方程，判斷曲線的圖象是橢圓、直線、圓還是雙曲線，再根據對應曲線的性質，進行解答．

解答：解：當m＜0且m≠-1時，
曲線為橢圓，則不經過區域M；
當m=-1時，
曲線為以原點為圓心，1為半徑的圓，不經過區域M
當m=0時，x=±1，不經過區域M
當m＞0時，
曲線為焦點在x軸上的雙曲線，若總經過區域M，
則有4-4m=1解得m=

3

4

故離心率e12=

7

3

有16-m=1解得m=15故離心率e22=

16

15

根據雙曲線的性質可得：e₂²≤e²≤e₁²
即有

16

15

≤1+

1

m

≤

7

3

所以

3

4

≤m≤15
故答案選D

點評：曲線mx²+ny²=1表示的圖象形狀受m，n取值的影響：①若m＞n＞0，則表示一條焦點在Y軸上的橢圓②若n＞m＞0，則表示一條焦點在X軸上的橢圓③若m=n＞0，則表示一個圓④若m＞0＞n，則表示一條焦點在X軸上的雙曲線⑤若n＞0＞m，則表示一條焦點在Y軸上的雙曲線．