Question

（2012•臨沂一模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABDE為梯形，AE∥BD，AE⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE，M為AB的中點；
（1）求證：CM⊥DE；
（2）求銳二面角D-EC-M的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明CM⊥DE，只需證明CM⊥平面ABDE，利用AE⊥CM，CM⊥AB即可證明；
（2）過M作MO⊥AC，則MO⊥平面AEDC，作MF⊥EC，連接OF，則OF⊥EC，故∠MFO為銳二面角D-EC-M的平面角，從而可求．

解答：（1）證明：∵AE⊥平面ABC，CM?平面ABC，
∴AE⊥CM
∵AC=BC，M為AB的中點
∴CM⊥AB，又AB∩AE=A
∴CM⊥平面ABDE
∵DE?平面ABDE
∴CM⊥DE；
（2）解：∵AE⊥平面ABC，AE?平面AEDC
∴平面AEDC⊥平面ABC
過M作MO⊥AC，則MO⊥平面AEDC
作MF⊥EC，連接OF，則OF⊥EC，
∴∠MFO為銳二面角D-EC-M的平面角
設AC=BC=BD=2AE=2a，則AM=MC=

2

a，∴MO=a
△EMC中，EM=

3

a，MC=

2

a，EC=

5

a，
∴△EMC是直角三角形，
∴MF=

EM×MC

EC

=

30

5

a
∴cos∠MFO=

a

30 5 a

=

30

6

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定與性質，正確作出面面角．