Question

（2012•臨沂一模）函數f（x）=x³-x²+x+1在點（1，2）處的切線與函數g（x）=x²圍成的圖形的面積等于

4

3

．

Answer 1

分析：由題意利用導數可求得過點（1，2）處的切線方程，利用定積分即可求得切線與函數g（x）=x²圍成的圖形的面積．

解答：解：∵（1，2）為曲線f（x）=x³-x²+x+1上的點，設過點（1，2）處的切線的斜率為k，
則k=f′（1）=（3x²-2x+1）|_x=1=2，
∴過點（1，2）處的切線方程為：y-2=2（x-1），即y=2x．
∴y=2x與函數g（x）=x²圍成的圖形如圖：
由

y=2x y=x2

得二曲線交點A（2，4），
又S_△AOB=

1

2

×2×4=4，g（x）=x²圍與直線x=2，x軸圍成的區域的面積S=

∫

2 0

x²dx=

x3

3

|

2 0

=

8

3

，
∴y=2x與函數g（x）=x²圍成的圖形的面積為：S′=S_△AOB-S=4-

8

3

=

4

3

．
故答案為：

4

3

．

點評：本題考查導數的幾何意義，考查定積分在求面積中的應用，求得題意中過點（1，2）處的切線方程是關鍵，考查作圖與運算能力，屬于中檔題．