如圖，在長方體
中，已知上下兩底面為正方形，且邊長均為1；側棱
，
為
中點，
為
中點，
為
上一個動點.
（Ⅰ）確定點的位置，使得
；
（Ⅱ）當時，求二面角
的平面角余弦值.
（Ⅰ）
為的四等分點；（Ⅱ）
.
解析試題分析：（Ⅰ）用向量法的解題步驟是建立恰當的空間直角坐標系，寫出相應的點的坐標及向量的坐標，利用向量的數量積為0，則這兩個向量垂直，得出結論；（Ⅱ）二面角的問題，找到兩個平面的法向量的夾角，利用向量的夾角公式求解.
試題解析：方法一：
(Ⅰ)如圖，分別以
所在直線為
軸建立空間直角坐標系
，則
易得
2分
由題意得
,設
又
則由
得
，
∴
,得為的四等分點. 6分
(Ⅱ)易知平面
的一個法向量為
，設平面
的法向量為
則
,得
，取
，得
， 10分
∴
，∴二面角
的平面角余弦值為.12分
方法二：
（Ⅰ）∵
在平面
內的射影為
，且四邊形為正方形，
為中點， ∴
同理，在平面
內的射影為
，則
由△
～△
， ∴
,得為的四等分點. 6分
（Ⅱ）∵
平面
,過
點作
，垂足為
；
連結
，則
為二面角的平面角； 8分
由
，得
,解得
∴在
中，
,
∴
；∴二面角的平面角余弦值為. 12分
考點：線面垂直的判定定理,二面角,線面成角的計算.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，AC 是圓 O 的直徑，點 B 在圓 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于點 M，EA⊥平面ABC，FC//EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．
（I）證明：EM⊥BF；
（II）求平面 BEF 與平面ABC 所成銳二面角的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD,
，
,AD=AB=1,AC和BD交于O點.
(I)求證：平面PBD丄平面PAC.
(II)當點A在平面PBD內的射影G恰好是ΔPBD的重心時，求二面角B-PD-A的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖1，四棱錐
中，
底面
，面是直角梯形，
為側棱
上一點．該四棱錐的俯視圖和側（左）視圖如圖2所示．
（Ⅰ）證明：
平面
；
（Ⅱ）證明：
∥平面
；
（Ⅲ）線段
上是否存在點
，使
與
所成角的余弦值為
？若存在，找到所有符合要求的點，并求
的長；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，三棱柱A1B1C1—ABC的三視圖中，正(主)視圖和側(左)視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，點M是A1B1的中點．
(1)求證：B1C∥平面AC1M；
(2)求證：平面AC1M⊥平面AA1B1B.
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的底面是邊長為1的正六邊形，
底面
。
平面
；
，求三棱錐
高的大小。
中，
、
分別是
、
的中點，
平面
；
與
所成角余弦值的大小；
的距離．
是等邊三角形， 
，
，
，
，
分別是
，
，
的中點，將△
的位置，使得
.
平面
；
平面
.
中，求證：平面
平面
．